선형대수 - 3

vector space : 벡터 공간

• 벡터 집합이 존재할 때 해당 벡터들로 구성할 수 있는 공간
• basis : 벡터 공간을 생성하는 선형 독립인 벡터들
  • 서로 선형 독립이 아닌 벡터들은 기저가 될 수 없다.
  • not linear independent : 벡터 사이에 선형 관계가 존재하여 상호 의존적으로 서로 간에 표현이 가능하다.
• subspace : 벡터 공간의 일부분 ex) 3차원 벡터 공간에서 선, 면은 부분 공간

span

W=span(S)

• 벡터 공간 V의 두 basis(기저) 벡터 집합을 S라 하고 S에 속한 기저 벡터들로 구성되는 부분 공간을 W라 할 때,
• S는 부분 공간 W를 span한다.
• row space : 행벡터로 span 할 수 있는 공간
• column space : 열벡터로 span 할 수 있는 공간

dimension

• 기저 벡터의 개수
• 벡터 공간을 구성하는 데 필요한 최소한의 벡터 개수
• 행공간의 차원 == 열공간의 차원

Rank

• row vector에 의해 span 된 벡터 공간의 차원

null space

• 행렬 A에 대하여 Ax = 0을 만족하는 모든 벡터 x의 집합

행렬 A의 n차원 행공간을 R^n이라 하고 m차원 열공간을 R^m이라 할 때,

1. R^n의 차원과 R^m의 차원은 동일하다. = r
2. A : 행공간에 존재하는 벡터 x를 열공간에 존재하는 벡터 b로 선형 변환하는 것
3. null space's dimension : n-r
4. A^T's null space's dimension : m-r

orthogonal matrix

• 직교 행렬 : 행벡터와 열벡터가 유클리드 공간의 정규(크기가 1) 직교(*벡터 간 각도 직각) 기저를 이루는 행렬
• 사이 각도가 90도 : 두 벡터의 내적값 = 0
• AA^T == A^TA == I
  • 직교 행렬 A의 역행렬은 자기 자신의 transposed matrix(전치 행렬)
  • A^T = A^-1
  • 직교 행렬은 전치 행렬이 곧 역행렬이므로 역행렬을 구하기 상대적으로 수월하다.

직교 행렬의 성질

1. 직교 행렬의 전치 행렬 = 직교 행렬
2. 직교 행렬의 역행렬 = 직교 행렬
3. 직교 행렬끼리 곱 결과 = 직교 행렬
4. 직교 행렬의 행렬식 = 1 | -1